Question

12．求下列雙曲線的標準方程
（1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$有公共焦點，且過點（6$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）的雙曲線
（2）以橢圓3x²+13y²=39的焦點為焦點，以直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出雙曲線方程，利用與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$有公共焦點，且過點（6$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），建立方程，即可求出雙曲線的標準方程，并寫出其漸近線方程．
（2）利用橢圓的方程求出雙曲線的焦點坐標，設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{10-{a}^{2}}$=1，根據(jù)直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線求出a²，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
由已知雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$可求得c²=20．
∵兩雙曲線有公共的焦點，
∴a²+b²=20①
又雙曲線過點（6$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），∴$\frac{72}{{a}^{2}}-\frac{6}{^{2}}$=1
由①②可解得：a²=18，b²=2，
故所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）橢圓3x²+13y²=39可化為$\frac{{x}^{2}}{13}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其焦點坐標為（±$\sqrt{10}$，0），
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{10-{a}^{2}}$=1，
∵直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{10-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
∴a²=8，
故雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．