Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+3，x∈[-2，2]．
（1）若a=2，求f（x）的最值，并說明當(dāng)f（x）取最值時(shí)的x的值；
（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用配方法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最值；
（2）對(duì)于[-2，2]區(qū)間內(nèi)的任意x恒成立，按區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系分三種情況討，最后結(jié)合圖象即可解決問題．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
∵x∈[-2，2]，
∴x=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值2；x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值11；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，設(shè)g（x）=x²+ax+3-a≥0，
分如下三種情況討論（如圖所示）：
①如圖（1），當(dāng)g（x）的圖象恒在x軸上方時(shí)，滿足條件時(shí)，有△=a²-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如圖（2），g（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，
當(dāng)-

a

2

≤-2時(shí)，g（x）≥0，即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≤-2 4-2a+3-a≥0

解之得a∈Φ．
③如圖（3），g（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，
-

a

2

≥-2時(shí)，g（x）≥0，即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≥2 4-2a+3-a≥0

，解之得-7≤a≤-6
綜合①②③得a∈[-7，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要了一元二次不等式恒成立的問題，注考查利用了二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合解決問題，屬于中檔題．