Question

已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，一條直線(xiàn)與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）設(shè)b=f（k），求f（k）的表達(dá)式；
（2）若，求直線(xiàn)l的方程；
（3）若，求三角形OAB面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可得b和k滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）先把直線(xiàn)l的方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與b和k之間的等式，再利用 以及（1）的結(jié)論求出b和k進(jìn)而求得直線(xiàn)l的方程；
（3）用類(lèi)似于（2）的方法求出之間的關(guān)系式，求出弦AB的長(zhǎng)，再把△AOB面積整理成關(guān)于m的函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出△AOB面積的取值范圍即可．
解答：解：∵c=1且直線(xiàn)與圓O相切∴∵b＞0，∴
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又
則．
由，∴k²=1，b²=2.，∴
直線(xiàn)l的方程為：y=±x+．
（3）由（2）知：，∴，∴，
由弦長(zhǎng)公式得
解得∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，是對(duì)函數(shù)，向量，拋物線(xiàn)以及圓的綜合考查，由于知識(shí)點(diǎn)較多，是道難題．