Question

已知：函數(shù)f(x)=ax+

b

x

+c（a、b、c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且  滿足f（1）=10，f（3）=6
（1）求a、b、c的值及f（x）的解析式；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)定義得f（-x）=-f（x），可求c值，根據(jù)f（1）=10，f（3）=6可得a，b方程組，解得a，b，從而可求f（x）；
（2）任取0＜x₁＜x₂＜3，利用作差可比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義得結(jié)論；

解答：解 （1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即-ax-

b

x

+c=-ax-

b

x

-c，可得c=0，
又f（1）=a+b=10，f(3)=3a+

b

3

=6，
聯(lián)立解得a=1，b=9，∴f(x)=x+

9

x

；
（2）由（1）知f(x)=x+

9

x

，f（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞減，證明如下：
任取0＜x₁＜x₂＜3，
則f(x1)-f(x2)=x1+

9

x1

-x2-

9

x2

=(x1-x2)+

9(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)

x1x2-9

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜3，∴0＜x₁x₂＜9，即x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)判斷，考查函數(shù)解析式的求解，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類(lèi)題目的基本方法．