Question

19．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、G、H分別是BC、C₁D₁、AA₁、的中點．
（Ⅰ）求異面直線D₁H與A₁B所成角的余弦值
（Ⅱ）求證：EG∥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接D₁C和CH，可證A₁B∥D₁C，可得∠HD₁C或其補角為異面直線D₁H與A₁B所成的角，設(shè)正方形邊長為2，則在△D₁HC中根據(jù)余弦定理可求cos∠HD₁C的值，從而得解．
（Ⅱ）連接BD與AC交于點O，連接D₁O，OE，GE，可證四邊形OEGD₁是平行四邊形，即可證明$GE\underline{\underline{∥}}{D_1}O$，從而得證．

解答 解：（Ⅰ）連接D₁C和CH，
∵A₁D₁$\underline{\underline{∥}}$B₁C₁$\underline{\underline{∥}}$BC，
∴四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，
∴A₁B∥D₁C，
∴∠HD₁C或其補角為異面直線D₁H與A₁B所成的角，…（3分）
∴設(shè)正方形邊長為2，則在△D₁HC中，${D_1}H=\sqrt{5}，{D_1}C=2\sqrt{2}，HC=3$，
根據(jù)余弦定理，$cos∠H{D_1}C=\frac{5+8-9}{{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
則異面直線D₁H與A₁B所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（7分）
（Ⅱ）證明 連接BD與AC交于點O，連接D₁O，OE，GE，
∵$OE\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}CD，{D_1}G\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}CD$，
∴$OE\underline{\underline{∥}}{D_1}G$，
∴四邊形OEGD₁是平行四邊形，…（9分）
∴$GE\underline{\underline{∥}}{D_1}O$，GE?面BB₁D₁D，D₁O?面BB₁D₁D
∴EG∥面BB₁D₁D…（13分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，余弦定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．