【題目】已知拋物線Cy24x的焦點為F,準線為l,過l上一點P作拋物線C的兩條切線,切點為A,B

1)求證:直線AB過焦點F

2)若|PA|8,|PB|6,求|PF|的值.

【答案】1)詳見解析;(2

【解析】

1)設(shè)A,BP的坐標,設(shè)直線PA,PB的方程與拋物線聯(lián)立,求出兩根之和及兩根之積,由判別式為0及點A,B在拋物線上可得直線PA,PB的斜率與A,B的縱坐標的關(guān)系,由于P在兩條直線上,可得直線AB的方程ay=﹣2+2x 上,可得直線AB恒過定點(1,0),即直線過拋物線的焦點;

2)由(1)可得直線AB 的方程,與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,進而求出直線PA,PB的斜率之積為﹣1,所以直線PA,PB互相垂直,可得弦長|AB|的值,AB代入拋物線的方程作差可得直線AB的斜率,求出PF的斜率與AB的斜率之積為﹣1,進而求出PF的值.

解:(1)設(shè)點Ax1,y1),Bx2,y2),P(﹣1,a)、設(shè)直線PAyy1k1xx1),

聯(lián)立 整理可得:y24x10

由△=0 1k1y1+k12x10 y124x1,故1k1y1k12y120,

故(120

kPAk1,故直線PA的方程為:yy1xx1),即yy12x+2x1,

同理kPB,直線PB 的方程為:yy22x+2x2

P在直線PA,PB 上∴,

Ax1y1),Bx2,y2),在直線ay=﹣2+2x 上,

故直線AB 的方程為ay=﹣2+2x.令y0,得x1,

∴直線AB過焦點F

2)由(1)知聯(lián)立x 得:y22ay40

y1+y22a,y1y=﹣4,故kPAkPB1,

故直線PA與直線PB垂直,從而|AB|10,

y12y224x1x2),kAB,

kPFkPFkAB=﹣1,故PFAB,

|PF|

練習冊系列答案
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