Question

（2009•黃岡模擬）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，D為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁
（2）求二面角B-B₁C-D的余弦值的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（1）證明：連接BC₁交B₁C于E，連接DE，∵BC⊥CC₁，
∴四邊形BB₁C₁C為矩形，∴E為BC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)|BC|=2．
則A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B₁（0，2，2）．
∴

CD

=(1，1，0)，

CB1

=(0，2，2)．
設(shè)平面B₁CD的法向量

n

=(x，y，z)，則

n • CD =x+y=0 n • CB1 =2y+2z=0

，
令y=-1，則x=1，z=1．
∴

n

=(1，-1，1)．
取平面BB₁C的法向量

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

3 ×1

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直三棱柱和矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式求二面角等是解題的關(guān)鍵．