如圖1,在邊長為12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分別交BB1,CC1于點P、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A′1與AA1重合,構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,請在圖2中解決下列問題:
(1)求證:AB⊥PQ;
(2)在底邊AC上有一點M,滿足AM;MC=3:4,求證:BM∥平面APQ.

(1)證明:因為AB=3,BC=4,
所以AC=5,從而AC2=AB2+BC2
即AB⊥BC.(3分)
又因為AB⊥BB1,而BC∩BB1=B,
所以AB⊥平面BC1,又PQ?平面BC1
所以AB⊥PQ (6分)
(2)證明:過M作MN∥CQ交AQ于N,連接PN,
因為AM:MC=3:4∴AM:AC=MN:CQ=3:7 (9分)
∴MN=PB=3∵PB∥CQ∴MN∥PB∴四邊形PBMN為平行四邊形
∴BM∥PN,所以BM∥平面APQ.(12分)
分析:(1)根據(jù)AB,BC,AC三邊滿足AC2=AB2+BC2,可知AB⊥BC,而AB⊥BB1,BC∩BB1=B,根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB⊥平面BC1,又PQ?平面BC1,根據(jù)線面垂直的性質可知AB⊥PQ;
(2)欲證BM∥平面APQ,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BM與平面APQ內一直線平行即可,過M作MN∥CQ交AQ于N,連接PN,
根據(jù)邊的比例關系可證得四邊形PBMN為平行四邊形,從而BM∥PN,滿足定理所需條件.
點評:本題主要考查了空間兩直線的位置關系的判定,以及直線與平面平行的判定,同時考查了空間想象能力和推理能力,屬于中檔題.
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如圖1所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點B,C在線段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點B1,P,作CC1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1
(Ⅱ)求四棱錐A-BCQP的體積;
(Ⅲ)求平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

19、如圖1,在邊長為12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分別交BB1,CC1于點P、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A′1與AA1重合,構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,請在圖2中解決下列問題:
(1)求證:AB⊥PQ;
(2)在底邊AC上有一點M,滿足AM;MC=3:4,求證:BM∥平面APQ.

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科目:高中數(shù)學 來源:遼寧省大連市2010屆高三下學期雙基測試數(shù)學文科試題 題型:047

如圖1,在邊長為12的正方形中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,分別交BB1,CC1于點P、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得與AA1重合,構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,請在圖2中解決下列問題:

(1)求證:AB⊥PQ;

(2)在底邊AC上有一點M,滿足AM∶MC=3∶4,求證:BM∥平面APQ.

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如圖1,在邊長為12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分別交BB1,CC1于點P、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A′1與AA1重合,構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,請在圖2中解決下列問題:
(1)求證:AB⊥PQ;
(2)在底邊AC上有一點M,滿足AM;MC=3:4,求證:BM∥平面APQ.

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