Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（Ⅰ）證明f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（Ⅱ）解不等式f（x²-1）+f（3-3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t²-2at+1對?x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）任取-1≤x₁＜x₂≤1，則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)，由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x1-x2＜0，可比較f（x₁）與f（x₂）的大小，由單調(diào)性的定義可作出判斷；
（Ⅱ）利用函數(shù)的奇偶性可把不等式化為f（x²-1）＜f（3x-3），在由單調(diào)性得x²-1＜3x-3，還要考慮定義域；
（Ⅲ）要使f（x）≤t²-2at+1對?x∈[-1，1]恒成立，只要f（x）_max≤t²-2at+1，由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)易求f（x）_max，再利用關于a的一次函數(shù)性質(zhì)可得不等式組，保證對a∈[-1，1]恒成立；

解答： 解：（Ⅰ）任取-1≤x₁＜x₂≤1，
則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)，
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x1-x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴不等式化為f（x²-1）＜f（3x-3），
∴

x2-1＜3x-3 -1≤x2-1≤1 -1≤3x-3≤1

，解得x∈(1，

4

3

]；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，
要使f（x）≤t²-2at+1對?x∈[-1，1]恒成立，只要t²-2at+1≥1⇒t²-2at≥0，
設g（a）=t²-2at，對?a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
∴

g(-1)=t2+2t≥0 g(1)=t2-2t≥0

⇒

t≥0或t≤-2 t≥2或t≤0

，
∴t≥2或t≤-2或t=0．

點評：本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可從恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生靈活運用知識解決問題的能力．