Question

【題目】如圖，多面體中，四邊形是菱形， ， 相交于， ，點(diǎn)在平面上的射影恰好是線(xiàn)段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與平面所成的角為，求平面與平面所成角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）運(yùn)用線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行分析推證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的知識(shí)及數(shù)量積公式分析求解：

（Ⅰ）取AO的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，則EH⊥平面ABCD

∵BD在平面ABCD內(nèi)，∴EH⊥BD 又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF內(nèi)

∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H為原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，

即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，則

各點(diǎn)坐標(biāo)分別為,E(0,0, )

易知為平面ABCD的一個(gè)法向量，記=， = , =

∵EF//AC，

∴ 設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為 （注意：此處可以用替代）

即 ＝ ,

令，則，∴

∴

平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為.