Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足16（a₁+a₄）+7=0，S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知b_n=n（n∈N₊），記c_n=（-1）ⁿb_na_n^-1，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和f（n）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，
∵S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列，
∴2S₃=S₁+S₂，
∴2a1(1+q+q2)=a₁（2+q），化簡(jiǎn)得2q²+q=0，
∵q≠0，
∴q=-

1

2

，
又16（a₁+a₄）+7=0，
∴16[a1+a1(-

1

2

)3]+7=0，
解得a₁=-

1

2

．
∴an=(-

1

2

)n．
（2）∵b_n=n，an=(-

1

2

)n，
∴c_n=（-1）ⁿb_na_n^-1=(-1)n•n•(-

1

2

)-n=n•2ⁿ．
∴f（n）=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2f（n）=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-f（n）=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴f（n）=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．