Question

定義符號函數(shù)sgnx=，設(shè)f（x）=•f₁（x）+•f₂（x），x∈[0，1]，若f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），則f（x）的最大值等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：分三種情況討論：當(dāng)x=時(shí)，則符號函數(shù)的定義結(jié)合已知函數(shù)表達(dá)式，得到f（x）=，代入x=，得f（）=1；當(dāng)x時(shí)，同理得到f（x）=f₂（x）=2（1-x），在區(qū)間（，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，得到f（x）＜1恒成立；當(dāng)時(shí)，f（x）=f₁（x）=，在區(qū)間（-∞，）內(nèi)是增函數(shù)，所以f（x）＜1恒成立．綜合可得f（x）的最大值等于1，得到正確選項(xiàng)．
解答：解：①當(dāng)x=時(shí)，==0，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₁（x）+f₂（x），
∵f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），
∴f（x）=x++（1-x）=
代入x=，得f（）=1；
②當(dāng)x時(shí)，=1，=-1，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₂（x）
∴f（x）=2（1-x），在區(qū)間（，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，所以f（x）＜2（1-）=1恒成立；
③當(dāng)時(shí)，=-1，=1，
因此f（x）=•f₁（x）+•f₂（x）=f₁（x），
∴f（x）=，在區(qū)間（-∞，）內(nèi)是增函數(shù)，所以f（x）＜+=1恒成立．
綜上所述，則f（x）的最大值等于1．
故選B
點(diǎn)評：本題給出一個(gè)含有符號函數(shù)的綜合式為例，以求函數(shù)的最大值為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識點(diǎn)，屬于中檔題．