Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中點，∠BAD=120°．
（1）求證：平面PAC⊥平面BDE；
（2）若PA=AB=2，求點P到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC⊥平面BDE，
（2）先求出△ABD的面積，再求出△EBD的面積，根據(jù)體積公式計算即可．

解答 解：（1）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，
因為BD?平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD．
（2）由（1）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，∠BAD=120°．
所以${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}BD•\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$．
設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，則（1）可知，BD⊥OE．
所以${S_{△EBD}}=\frac{1}{2}BD•OE=\sqrt{6}$．
設(shè)三棱錐P-EBD的高為h，則$\frac{1}{3}{S_{△EBD}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•AE$，
即$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$，
解得$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．