Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（I）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（II）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（x））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]在區(qū)間（t，3）上總存在極值？
（III）當a=2時，設函數(shù)h（x）=（p-2）x+

p+2

x

-3，若對任意的x∈[1，2]，f（x）≥h（x）恒成立，求實數(shù)P的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=1時，f（x）=lnx-x-3，故可先求它的導函數(shù)，令導數(shù)大于0解出其單調增區(qū)間，進而得到減區(qū)間．
（II）函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（x））處的切線的傾斜角為45°，可求得此切線的斜率為1，即切點處的導數(shù)為1，由此求得參數(shù)a的值，再求出g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]的解析式，利用導數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總存在極值即可．
（III）a=2時，設函數(shù)h（x）=（p-2）x+

p+2

x

-3，若對任意的x∈[1，2]，f（x）≥h（x）恒成立，即任意的x∈[1，2]，f（x）-h（x）≥0恒成立，故求出函數(shù)f（x）-h（x）最小值，令其非負即可得到關于參數(shù)p的不等式，解之即可求得參數(shù)的范圍．

解答：解：f'（x）=

a

x

-a（x＞0）
（I）a=1時，f'（x）=

1

x

-1（x＞0），令f'（x）＞0解得0＜x＜1，所以f（x）在區(qū)間（0，1）遞增，
令f'（x）＜0解得x＞1，所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）遞減，
（II）函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（x））處的切線的傾斜角為45°，
f'（2）=1，即

a

2

-a=1，故a=-2，由此得f'（x）=

-2

x

+2
∴g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]=x³+x²（

m

2

+

-2

x

+2）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2
∵對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]在區(qū)間（t，3）上總存在極值
∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2在區(qū)間（t，3）上總有根，
∴g'（2）＜0，g'（3）＞0，
解得-

37

3

＜m＜-9
（III）a=2時，f（x）=2lnx-2x-3
令F（x）=f（x）-h（x）=2lnx-px-

p+2

x

F'（x）=

2

x

-p+

p+2

x2

=

2x-px2+p+2

x2

=

-p(x- p+2 p ) (x+1)

x2

①p+2=0時，F(xiàn)'（x）=

2x+2

x2

＞ 0，∴F（x）在[1，2]遞增，所以F（1）=-2＜0不成立，舍
②1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0時，同①不成立，舍；
③-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，∴F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以p＜-1
④p=-1時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，成立
⑤p＞0時，無不成立
綜上，p≤-1

點評：本題考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，本題涉及到了用導數(shù)研究函數(shù)的三大問題，知識性綜合性較強，在解題過程中要注意問題的轉化及分類討論的技巧的使用．