Question

a為何值時，方程sin²x+2sinxcosx－2cos²x=a有實(shí)數(shù)解.

Answer 1

a∈［，］

分析:所給方程的特征較明顯，即是關(guān)于sinx與cosx的齊次方程，通過變形就可化為以tanx為變元的一元二次方程，從而據(jù)判別式進(jìn)行求解.
解法一:原方程可化為
sin²x+2sinxcosx－2cos²x=a（sin²x+cos²x），
即（1－a）sin²x+2sinxcosx－（2+a）cos²x=0.
（1）當(dāng)a≠1時，∵cosx≠0，∴方程兩邊同除以cos²x，得
（1－a）tan²x+2tanx－（2+a）=0.
∵tanx∈R，∴Δ≥0，即4+4（1－a）（2+a）≥0，
即a²+a－3≤0.又a≠1，
∴a∈［，1）∪（1，］.
（2）當(dāng)a=1時，原方程化為2sinxcosx－3cos²x=0，此方程有實(shí)根.
綜合（1）（2）可得當(dāng)a∈［，］時，原方程有實(shí)數(shù)根.
解法二:（用函數(shù)觀點(diǎn)）
當(dāng)實(shí)數(shù)a取函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx－2cos²x值域中的數(shù)值時，原方程有實(shí)根.因此，求a的范圍，實(shí)質(zhì)上就是求上述函數(shù)的值域.
∵y=sin²x+2sinxcosx－2cos²x
=1+sin2x－3cos²x
=1+sin2x－ （1+cos2x）
=sin2x－cos2x－=sin（2x－）－，
其中∴y∈［， ］，
即a∈［，］時，原方程有實(shí)數(shù)根.
評注: 解法一是常規(guī)解法，解法二利用了變換的觀點(diǎn)，通過函數(shù)思想來解方程.函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)中兩個重要的概念，在解決數(shù)學(xué)問題時，如能靈活運(yùn)用，將使解答具有創(chuàng)造性.