Question

雙曲線C與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦點(diǎn)，直線y=

3

x為C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，且λ1+λ2=-

8

3

時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)找到雙曲線中的c，再利用直線y=

3

x為C的一條漸近線，求出a和b的關(guān)系進(jìn)而求出雙曲線C的方程；
（2）先把直線l的方程以及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來，利用

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，找到λ₁和λ₂與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線l的斜率的關(guān)系，再利用A、B兩點(diǎn)是直線和雙曲線的交點(diǎn)以及λ1+λ2=-

8

3

，求出直線l的斜率k進(jìn)而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
由橢圓

x2

8

+

y2

4

=1
求得兩焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），
∴對于雙曲線C：c=2，又y=

3

x為雙曲線C的一條漸近線
∴

b

a

=

3

解得a²=1，b²=3，
∴雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1
（Ⅱ）由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)l的方程：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則Q(-

4

k

，0)
∵

PQ

=λ1

QA

，
∴(-

4

k

，-4)=λ1(x1+

4

k

，y1)．
∴λ1=

- 4 k

x1+ 4 k

=-

4

kx1+4

同理λ₂=-

4

kx2+4

，
所以λ1+λ2=-

4

kx1+4

-

4

kx2+4

=-

8

3

．
即2k²x₁x₂+5k（x₁+x₂）+8=0．（*）
又y=kx+4以及
x2-

y2

3

=1
消去y得（3-k²）x²-8kx-19=0．
當(dāng)3-k²=0時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3-k²≠0．
由韋達(dá)定理有：
x1+x2=

8k

3-k2

x1x2=-

19

3-k2

代入（*）式得k²=4，k=±2
∴所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（±2，0）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系以及向量共線問題．在對圓錐曲線問題的考查上，一般都是出中等難度和高等難度的題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識(shí)，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．