定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，n]上是連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，且f（m）f（n）＜0，則存在唯一一個x∈（m，n）使f（x）=0．已知．
（1）若是減函數(shù)，求a的取值范圍．
（2）是否存在同時成立，若存在，指出c、d之間的等式關(guān)系，若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)可達(dá)g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a，依題意由g（x）在[0，]單調(diào)遞減可得上恒成立即a≥-cos（cosx）sinx，可求a的取值范圍
（2）由（1）知：當(dāng)a=1時，上是減函數(shù)且，根據(jù)零點判定定理可得存在唯一，同理知存在即cosf（d）=d成立，從而可證
解答：解：（1）∵g（x）=sin（cosx）-ax∴g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a
依題意恒成立
即a≥-cos（cosx）sinx
顯然-cos（cosx）sinx≤0∴a≥0，故a的取值范圍是a≥0…（6分）
（2）由（1）知：當(dāng)a=1時，上是減函數(shù)
且
∴存在唯一…（8分）
同理由上是減函數(shù)
且
知存在
即cosf（d）=d成立…（10分）
由cosf（d）=d得f[cos（f（d））]=f（d）
及f（cosc）=c的唯一性知c=f（d），即c=sind
綜上可知，存在c，d使f（cosc）=c和cos[f（d）]=d同時成立，且c=sind…（13分）
點評：解決本題的靈魂在于“轉(zhuǎn)化”，先將單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，另外還要具備綜合應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}的前n項和sn=
an2+an
2
，bn=(1+
1
2an
)an(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）定理：若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且f'（x）存在，則當(dāng)x1＞x2（x1，x2∈D）時，總有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜f′(x1)，請根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)y=xn+1（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函數(shù)，判斷bn與bn+1的大��；
（Ⅲ）求證：
3
2
≤bn＜2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•佛山二模）（1）定理：若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．應(yīng)用上述定理證明：
①1-
x
y
＜lny-lnx＜
y
x
-1(0＜x＜y)；
②
n
k-2
1
k
＜lnn＜
n-1
k-1
1
k
(n＞1)．
（2）設(shè)f（x）=xn（n∈N*）．若對任意的實數(shù)x，y，f（x）-f（y）=f′（
x+y
2
）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定理：若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．應(yīng)用上述定理證明：
（1）1-
x
y
＜lny-lnx＜
y
x
-1(0＜x＜y)；     
（2）設(shè)bn=
1
n
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010
（3）設(shè)f（x）=xn（n∈N*）．若對任意的實數(shù)x，y，f(x)-f(y)=f′(
x+y
2
)(x-y)恒成立，求n所有可能的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•湖北模擬）定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，n]上是連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，且f（m）f（n）＜0，則存在唯一一個x0∈（m，n）使f（x0）=0．已知f(x)=sinx(0≤x≤
π
2
)．
（1）若g(x)=f(cosx)-ax(0≤x≤
π
2
)是減函數(shù)，求a的取值范圍．
（2）是否存在c，d∈(0，
π
2
)使f(cosc)=c和cos[f(d)]=d同時成立，若存在，指出c、d之間的等式關(guān)系，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案