Question

5．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$滿足＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=60°，且{|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{c}$|}={1，2，3}，則|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{7}+3$
• B． $\sqrt{19}+1$
• C． $\sqrt{13}+2$
• D． $\sqrt{15}+3$

Answer 1

分析 由題意可知，當(dāng)$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$同向時(shí)，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|有最大值，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，分別令|$\overrightarrow{c}$|∈{1，2，3}，求出值，再比較大小即可．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$滿足＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=60°，當(dāng)$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$同向時(shí)，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|有最大值，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|_max=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|+|$\overrightarrow{c}$|，
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos60°=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，
當(dāng)|$\overrightarrow{c}$|=1時(shí)，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=4+9+6=19，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=1+$\sqrt{19}$，
當(dāng)|$\overrightarrow{c}$|=2時(shí)，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=1+9+3=13，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=2+$\sqrt{13}$，
當(dāng)|$\overrightarrow{c}$|=3時(shí)，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=1+4+2=7，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=3+$\sqrt{7}$，
∵3+$\sqrt{7}$＞2+$\sqrt{13}$＞1+$\sqrt{19}$，
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的最大值是3+$\sqrt{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵得到當(dāng)$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$同向時(shí)，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|有最大值，屬于中檔題．