【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)， 為橢圓的左焦點(diǎn)且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求的面積.

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）由雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓： （）的頂點(diǎn)可得再由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得 ，從而可得求橢圓的方程；（2）設(shè)直線： ，聯(lián)立： ，得，根據(jù)韋達(dá)定理及三角形面積公式將當(dāng)的面積用 表示，利用基本不等式等號(hào)成立的條件，可得當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求的面積.

試題解析：（1）由已知得

所以的方程為．

（2）由已知結(jié)合（1）得， ， ，

所以設(shè)直線： ，聯(lián)立： ，得，

得，

（），

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 的面積取得最大值，

所以，此時(shí)，

所以直線： ，聯(lián)立，解得，

所以，點(diǎn)到直線： 的距離為，

所以．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x=1時(shí)取得極大值，求證：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（3）若m≤8，當(dāng)x≥1時(shí)，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f（x）=e2x+ln（x+a）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，①求f（x）在（0，1）處的切線方程；②當(dāng)x≥0時(shí)，求證：f（x）≥（x+1）2+x．
（2）若存在x0∈[0，+∞），使得 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知 是函數(shù)f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一條對(duì)稱軸，且f（x）的最小正周期為π
（Ⅰ）求m值和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，若f（B）=2， ，求 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（1）求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）直線過(guò)已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，且與拋物線的交點(diǎn)為，求的長(zhǎng)度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸且單位長(zhǎng)度相同的極坐標(biāo)系中曲線C1：ρ=1， （t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C1上的點(diǎn)到曲線C2距離的最小值；
（Ⅱ）若把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的 倍，得到曲線 ．設(shè)P（﹣1，1），曲線C2與 交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知x，y∈R．
（Ⅰ）若x，y滿足 ， ，求證： ；
（Ⅱ）求證：x4+16y4≥2x3y+8xy3 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API（為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：

現(xiàn)對(duì)某城市30天的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得30個(gè)API數(shù)據(jù)（每個(gè)數(shù)據(jù)均不同），統(tǒng)計(jì)繪得頻率分布直方圖如圖.

（1）請(qǐng)由頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)這30天API 的平均值；

（2）若從獲得的“空氣質(zhì)量?jī)?yōu)”和“空氣質(zhì)量中重度污染” 的數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)查，求“空氣質(zhì)量?jī)?yōu)”和“空氣質(zhì)量中重度污染”數(shù)據(jù)恰均被選中的概率；

（3）假如企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)API （記為）的關(guān)系式為，

若將頻率視為概率，在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)這天的經(jīng)濟(jì)損失S不超過(guò)600元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓過(guò)點(diǎn)，直線交軸于，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．

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