Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的長；
（2）求棱PC與平面AMD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由

AM

⊥平面PBD，

AM

•

BD

=

AM

•

BP

=0，可得P的豎坐標(biāo)，
即得到PA的長．
（2）先求出平面AMD的一個(gè)法向量n，

CP

與法向量n的夾角的余弦值就等于

CP

與平面AMD夾角的正弦值．

解答：解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因?yàn)镸是PC中點(diǎn)，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

，

a

2

），
所以

AM

=（

1

2

，

1

2

，

a

2

），

BD

=（-1，1，0），

BP

=（-1，0，a）．
（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AM

⊥平面PBD，所以

AM

•

BD

=

AM

•

BP

=0．即
-

1

2

+

a2

2

=0，所以a=1，即PA=1．（4分）
（2）由

AD

=（0，1，0），

M

=（

1

2

，

1

2

，

1

2

），
可求得平面AMD的一個(gè)法向量n=（-1，0，1）．
又

CP

=（-1，-1，1）．所以cos＜n，

CP

＞=

n•| CP |

|n|•| CP |

=

2

2 • 3

=

6

3

，故sin＜n，

CP

＞=

3

3

，
所以，PC與平面AMD所成角的正弦值為

3

3

．（10分）

點(diǎn)評：本題考查線面成的角、面面垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義以及兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的
運(yùn)算，注意向量CP和平面法向量的夾角的余弦值就等于PC與平面所成角的正弦值，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．