Question

20．長(zhǎng)為a的正六邊形ABCDEF在平面α內(nèi)，過A點(diǎn)作PA⊥α，PA=a，則P到CD的距離為2a，P到BC的距離為$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．

Answer 1

分析 先證明PC垂直于CD，然后在直角三角形PAC中利用勾股定理求出PC即可；同理先證明PQ垂直于BC，然后在直角三角形PAQ中利用勾股定理求出PQ即可求出所求．

解答 解：連接AC，CD⊥AC
∵PA⊥平面a，CD?平面a
∴PA⊥CD，而PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，則PC⊥CD
在直角三角形PAC中，AC=$\sqrt{3}$a，PA=a，
根據(jù)勾股定理可知PC=2a
即P到CD的距離為2a；
過點(diǎn)A作BC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接PQ
在直角三角形PAQ中，AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PA=a
根據(jù)勾股定理可知PQ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．
∴P到BC的距離為$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．
故答案為：2a，$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了空間點(diǎn)到直線的距離，以及線面垂直的判定和性質(zhì)，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．