Question

已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．

(1)寫出a2，a3的值(只寫結果)，并求出數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設bn＝＋＋＋…＋，若對任意的正整數(shù)n，當m∈[－1,1]時，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．

（2）實數(shù)t的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)

【解析】【解析】
(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，

∴a2＝6，a3＝12.

當n≥3時，an－an－1＝2n，an－1－an－2＝2(n－1)，

又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，

∴an－a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，

∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．

當n＝1時，a1＝2；當n＝2時，a2＝6，也滿足上式，

∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝n(n＋1)．

(2)bn＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝－＋－＋…＋－

＝－

＝

＝.

令f(x)＝2x＋ (x≥1)，則f′(x)＝2－，

當x≥1時，f′(x)>0恒成立，

∴函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，

故當x＝1時，f(x)min＝f(1)＝3，

即當n＝1時，(bn)max＝.

要使對任意的正整數(shù)n，當m∈[－1,1]時，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，則需t2－2mt＋>(bn)max＝，

即t2－2mt>0對?m∈[－1,1]恒成立，

∴，解得t>2或t<－2，

∴實數(shù)t的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．