Question

7．已知f（x）=（$\frac{x-1}{x+1}$）²（x＞1）
（1）求f（x）的反函數(shù)及其定義域；
（2）若不等式（1-$\sqrt{x}$）f^-1（x）＞a（a-$\sqrt{x}$）對區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的值域，即f^-1（x）的定義域，令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²，解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，可得f^-1（x）．
（2）不等式（1-$\sqrt{x}$）f^-1（x）＞a（a-$\sqrt{x}$）在區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立?$\sqrt{x}+1＞{a}^{2}-a\sqrt{x}$在區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，$\sqrt{x}（1+a）＞{a}^{2}-1$對區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立．

解答 解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²（x＞1），解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，∴f^-1（x）=$\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}$（0＜x＜1）；
（2）∵f^-1（x）=$\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}$（0＜x＜1），∴不等式（1-$\sqrt{x}$）f^-1（x）＞a（a-$\sqrt{x}$）在區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立?$\sqrt{x}+1＞{a}^{2}-a\sqrt{x}$在區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
$\sqrt{x}（1+a）＞{a}^{2}-1$對區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立．
當(dāng)a=-1時，不成立，
當(dāng)a＞-1時，a＜$\sqrt{x}+1$在區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，a＜（$\sqrt{x}+1$）_min，-1＜a＜$\frac{3}{2}$．
當(dāng)a＜-1時，a＞$\sqrt{x}+1$在區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，a＞（$\sqrt{x}+1$）_max，a無解．　
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍：-1＜a＜$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了反函數(shù)的求法，不要忘記求出定義域，及函數(shù)恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．