Question

4．己知函數(shù)f（x）=log_a（3x+1），g（x）=log_a（1-3x），（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）判斷F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并說明理由4；
（3）確定x為何值時，有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)大于零即可列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{1-3x＞0}\end{array}\right.$，解出即可；
（2）由F（-x）=log_a（-3x+1）-log_a（1+3x）=-F（x），再結(jié)合定義域即能得出答案．
（3）不等式f（x）-g（x）＞0轉(zhuǎn)化為log_a（3x+1）＞log_a（1-3x），然后分當(dāng)a＞1時和0＜a＜1兩種情況進行討論，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出方程組即得答案．

解答 解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=log_a（3x+1）-log_a（1-3x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{1-3x＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}$．
∴F（x）=f（x）-g（x）的定義域是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（2）由（1）知F（x）定義域關(guān)于原點對稱，
∵F（x）=log_a（3x+1）-log_a（1-3x），
F（-x）=log_a（-3x+1）-log_a（1+3x）=-F（x）．
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函數(shù)．
（3）∵f（x）-g（x）＞0，
∴f（x）＞g（x），
即 log_a（3x+1）＞log_a（1-3x），
①當(dāng)a＞1時，$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞1-3x}\\{-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得 0＜x＜$\frac{1}{3}$．
②當(dāng)0＜a＜1時，$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＜1-3x}\\{-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{3}＜x＜0$．
綜上所述：當(dāng)a＞1時，f（x）-g（x）＞0的解是0＜x＜$\frac{1}{3}$．
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）-g（x）＞0的解是-$\frac{1}{3}＜x＜0$．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，單調(diào)性及奇偶性的判斷和分情況討論思想．屬于基礎(chǔ)題．