Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中點，PC與平面ABCD的夾角為30°．
（1）求平面PCE與平面CED夾角的大小；
（2）當AD為多長時，點D到平面PCE的距離為2．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連接PO，則PO⊥面ABCD，以O(shè)為原點，過O作AB平行線為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系，連OC．求出平面PCE的法向量、面DEC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面PCE與平面CED夾角的大小；
（2）利用點D到平面PCE的距離為2，求出D的坐標，即可，求得AD的長．

解答：解：（1）取AD的中點O，連接PO．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD
以O(shè)為原點，過O作AB平行線為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系，連OC，
則∠PCO為PC與面ABCD所成角
∴∠PCO=30°
設(shè)AD=2a，則PO=

3

a，∴OC=3a，∴CD=2

2

a
∴P（0，0，

3

a），C（2

2

a，a，0），E（

2

a，-a，0）
∴

PE

=（

2

a，-a，-

3

a），

PC

=（2

2

a，a，-

3

a），
設(shè)平面PCE的法向量為

n

=（1，y，z），則

2 a-ay- 3 az=0 2 2 a+ay- 3 az=0

∴y=-

2

2

，z=

6

2

，∴

n

=（1，-

2

2

，

6

2

），
又面DEC的法向量為

OP

=（0，0，

3

a）
∴cos＜

OP

，

n

＞=

OP • n

| OP || n |

=

2

2

∴平面PCE與平面CED夾角的大小為45°
 （2）∵D（0，a，0），∴

CD

=（-2

2

a，0，0）
∴點D到平面PCE的距離為d=

CD • n

| n |

=

2 6

3

a
∵點D到平面PCE的距離為2
∴

2 6

3

a=2，∴a=

6

2

∴AD=2a=

6

．

點評：本題考查面面角，考查點到面的距離的計算，考查向量知識的運用，求得平面的法向量是關(guān)鍵．