對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個(gè)角的5個(gè)小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S1=數(shù)學(xué)公式；第二步，將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積數(shù)學(xué)公式．若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn=________．


分析：類比正方形求面積，可得正方體求體積，得出所有體積構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可得結(jié)論．
解答：推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中，第一步，將它分割成3×3×3個(gè)正方體，其中心和八個(gè)角的9個(gè)小正方體，其體積為
=，第二步，執(zhí)行同樣的操作，其體積為，依此類推，到第n步，所有體積構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴到第n步，所得幾何體的體積Vn=
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，解題的關(guān)鍵是得出所有體積構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
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（2012•福州模擬）對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個(gè)角的5個(gè)小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S1=
5
9
；第二步，將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn=
5
9
n．若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn=
(
1
3
)n
(
1
3
)n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年福建省福州市高三3月質(zhì)量檢查試題文科數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個(gè)角的5個(gè)小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S1=；第二步，將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積．若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn=____________

 

 

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對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個(gè)角的5個(gè)小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S1=；第二步，將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積．若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn=    ．

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對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個(gè)角的5個(gè)小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S1=；第二步，將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積．若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn=    ．

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