Question

求證：(1)x²＋3＞2x；

(2)a²＋b²≥2(a－b－1)；

(3)若a＞b＞c，則bc²＋ca²＋ab²＜b²c＋c²a＋a²b.

Answer 1

證明：(1)x²＋3－2x＝(x－1)²＋2＞0，

∴x²＋3＞2x.

(2)a²＋b²－2(a－b－1)＝(a－1)²＋(b+1)²≥0，

∴a²＋b²≥2(a－b－1).

(3)bc²＋ca²＋ab²－(b²c＋c²a＋a²b)

＝(bc²－c²a)＋(ca²－b²c)＋(ab²－a²b)

＝c²(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)

＝(b－a)(c²－ac－bc＋ab)

＝(b－a)(c－a)(c－b).

∵a＞b＞c，

∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.

∴(b－a)(c－a)(c－b)＜0.

∴bc²＋ca²＋ab²＜b²c＋c²a＋a²b.

點(diǎn)評(píng)：用比較法證明不等式，取差后，要注意因式分解或配方，以判斷差的符號(hào).