如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2．

(Ⅰ)若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；

(Ⅱ)在AA1上是否存在一點(diǎn)D，使得二面角B1－CD－C1的大小為60°．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)證明：∵

　　∴

　　又由直三棱柱性質(zhì)知　　1分

　　∴平面．

　　∴　　2分

　　由，為中點(diǎn)，可知，

　　∴即　　4分

　　又　∴平面

　　又平面

　　故平面平面　　6分

　　(Ⅱ)解：當(dāng)時二面角的大小為60°　　7分

　　假設(shè)在上存在一點(diǎn)滿足題意，

　　由(Ⅰ)可知平面．如圖，在平面內(nèi)過作，交或延長線或于，連，則

　　所以為二面角的平面角　　8分

　　∴

　　由知，　　10分

　　設(shè)，則

　　∵的面積為1　∴

　　解得，即

　　∴在上存在一點(diǎn)滿足題意　　12分

　　解法二：

　　(Ⅰ)如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

　　則．

　　即　　2分

　　由得

　　由得　　4分

　　又

　　∴平面　又平面

　　∴平面平面　　6分

　　(Ⅱ)當(dāng)時二面角的大小為60°　　7分

　　設(shè)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，

　　設(shè)平面的法向量為

　　則由令

　　得　　8分

　　又∵為平面的法向量

　　則由　　10分

　　解得，故.

　　∴在上存在一點(diǎn)滿足題意　　12分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

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P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面B1DP的距離

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(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

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