已知函數(shù)f(x)=
x-aax
(a>0)

(1)判斷并證明y=f(x)在x∈(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若存在x0,使f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),求a的值,并求出不動(dòng)點(diǎn)x0
(3)若f(x)<2x在x∈(0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)先對(duì)函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn),然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷.
(2)令x=
x-a
ax
轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),根據(jù)該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),令判別式等于0即可求出a的值.
(3)將函數(shù)解析式代入f(x)<2x中,整理為
1
a
<2x+
1
x
,在根據(jù)基本不等式的知識(shí)求出y=2x+
1
x
的最小值,令此最小值大于
1
a
,即可求出a的范圍.
解答:解:(1)f(x)=
1
a
-
1
x

對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1>x2
f(x 1)-f(x 2)=(
1
a
-
1
x 1
)-(
1
a
-
1
x 2
)=
x 1-x 2
x 1x 2

∵x1>x2>0
∴x1-x2>0,x1x2>0
∴f(x1)-f(x2)>0,函數(shù)y=f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)解:令x=
x-a
ax
?ax2-x+a=0
,
△=1-4a2=0?a=
1
2
(負(fù)值舍去)
a=
1
2
代入ax2-x+a=0得
1
2
x2-x+
1
2
=0?x2-2x+1=0∴x0=1

(3)∵f(x)<2x
1
a
<2x+
1
x

∵x>0
2x+
1
x
≥2
2
(等號(hào)成立當(dāng)x=
2
2

1
a
<(2x+
1
x
) min=2
2
?a>
2
4

∴a的取值范圍是(
2
4
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和基本不等式的應(yīng)用.考查計(jì)算能力和綜合運(yùn)用能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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