Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，且對于定義域內(nèi)的任何x、y，有f（x-y）=成立，且f（a）=1（a為正常數(shù)），當(dāng)0＜x＜2a時，f（x）＞0則

1. A.
   f（3a）=1
2. B.
   f（x）是偶函數(shù)
3. C.
   f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞增
4. D.
   4a為f（x）的周期

Answer 1

D
分析：再依據(jù)條件求得 f（2a）=0，f（3a）=-1，故排除A．求出函數(shù)的定義域，根據(jù)條件計(jì)算f（-x）與f（x）的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判定函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B．
由條件求出f（x-a）=-，可得 f（x）==f（x+4a），故函數(shù)是周期函數(shù)，可得D正確．求得先證明x∈（2a，3a）時，f（x）＜0，再根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，
可得f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞減，故排除C，綜合可得結(jié)論．
解答：由f（x-y）=成立，且f（a）=1，可求得 f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]===0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]===-1，故A不正確．
∵定義域{x|x≠kπ，k∈Z}關(guān)于原點(diǎn)對稱，f（a）=1，又f（-x）=f[（a-x）-a]=
====-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，故B不正確．
由于 f（x-a）=====-，
所以 f（x）==f（x+4a），故函數(shù)f（x）為周期性等于4a的周期函數(shù)，故D正確．
先證明f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞減，由題意可得必須證明x∈（2a，3a）時，f（x）＜0．
設(shè)2a＜x＜3a，則0＜x-2a＜a，∴f（x-2a）==＞0，∴f（x）＜0．
設(shè)2a＜x₁＜x₂＜3a，則0＜x_2-x₁＜a，∴f（x₁）＜0f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞減，故C不正確．
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性和周期性的判斷，以及函數(shù)的最值及其幾何意義等有關(guān)知識，屬于中檔題．