Question

已知D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB=AD，∠ABC=β．且AC=

3

DC，則β=

π

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦定理可求得sinβ=

3

sinα，通過三角形是直角三角形，推出sinα+cos2β=0，即可求解sinβ，進而求得β的值．

解答：解：如圖，設(shè)∠CAD=α，△ADC中，由正弦定理

DC

sinα

=

AC

sin(π-β)

，
即

DC

sinα

=

AC

sinβ

，則sinβ=

3

sinα
∵α=

π

2

-∠BAD=

π

2

-（π-2β）=2β-

π

2

得sinβ=-

3

cos2β=-

3

（1-2sin^₂β）
∴sinα=sin（2β-

π

2

）=-cos2β，
即sinα+cos2β=0
即2

3

sin^₂β-sinβ-

3

=0
解得sinβ=

3

2

或sinβ=-

3

3

∵0＜β＜

π

2

∴sinβ=

3

2

∴β=

π

3

，
故答案為：

π

3

點評：本題主要考查了誘導(dǎo)公式化簡求值，正弦定理．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力．