Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中S₄=-8，a₃+a₄=0
（1）求此數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n以及它的前n項(xiàng)和公式S_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足bn=

1

Sn+7n

，求{b_n}的前10項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）在等差數(shù)列中，由S₄=-8，a₃+a₄=0，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，列出方程組，先求出這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能夠求出此數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n以及它的前n項(xiàng)和公式S_n．
（2）由Sn=n2-6n，bn=

1

Sn+7n

，知b_n=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能夠求出{b_n}的前10項(xiàng)和．

解答：解：（1）在等差數(shù)列中，
∵S₄=-8，a₃+a₄=0
∴

4a1+ 4×3 2 d=-8 a1+2d+a1+3d=0

，
解得a₁=-5，d=2，
∴a_n=-5+（n-1）×2=2n-7．
S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-5n+n（n-1）=n²-6n．
（2）∵Sn=n2-6n，bn=

1

Sn+7n

，
∴b_n=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴{b_n}的前10項(xiàng)和：
T₁₀=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

10

-

1

11

）
=1-

1

11

=

10

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．