Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“三角形函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=lnx（e²≤x≤e³）；②f（x）=4-cosx；③$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}（1＜x＜4）$；④$f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}$．
其中為“三角形函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用“三角形函數(shù)”的定義，分別判斷所給的四個(gè)函數(shù)，能求出結(jié)果．

解答 解：對(duì)于①，f（x）=lnx（e²≤x≤e³），
對(duì)于?a，b，c∈[e²，e³]，f（a），f（b），f（c）∈[2，3]，
∴f（a），f（b），f（c）分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，故①是“三角形函數(shù)”；
在②中，f（x）=4-cosx，對(duì)于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[3，5]，
∴f（a），f（b），f（c）分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，故②是“三角形函數(shù)”；
在③中，$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}（1＜x＜4）$，對(duì)于?a，b，c∈（1，4），f（a），f（b），f（c）∈（1，2），
∴f（a），f（b），f（c）為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，故③是“三角形函數(shù)”；
在④中，$f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}$，對(duì)于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈（0，1），
∴f（a），f（b），f（c）不一定是某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，故④不是“三角形函數(shù)”．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查“三角形函數(shù)”的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．