Question

若a＞0，b＞0，且點(diǎn)（a，b）在過點(diǎn)（1，-1），（2，-3）的直線上，則S=2

ab

-4a2-b2的最大值是

2 -1

2

．

Answer 1

分析：由點(diǎn)（a，b）在過點(diǎn)（1，-1）和（2，-3）的直線上得2a+b=1，所以S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-1，再令

ab

=t＞0，則S化為關(guān)于t的二次函數(shù)形式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合t的取值范圍可得S的最大值．

解答：解：過點(diǎn)（1，-1），（2，-3）的直線方程為：

y+3

-1+3

=

x-2

1-2

，2x+y-1=0．
∴2a+b-1=0，即2a+b=1．
S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-（2a+b）²=4ab+2

ab

-1
令

ab

=t，∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1≥2

2a•b

，∴0＜

ab

≤

2

4

，即 0＜t ≤

2

4

，
則 S=4t²+2t-1，在（0，+∞）上為增函數(shù)
故 當(dāng)t=

2

4

時(shí)，S 有最大值

2 -1

2

，
故答案為：

2 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．注意利用等價(jià)轉(zhuǎn)換，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)來(lái)求這個(gè)最值問題．運(yùn)用換元的思想得到 S=4t²+2t-1，
是解決本題的關(guān)鍵．