Question

為征求個人所得稅修改建議，某機構對居民的月收入調查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1000，1500））．
（I）求居民月收入在[3000，4000）的頻率；
（II）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，設月收入在[3500，4000）的這段應抽人數(shù)為m，求m的值．
（III）若從（II）中被抽取的m人中再選派兩人參加一項慈善活動，求其中的甲、乙兩人至少有一個被選中的概率．

Answer 1

分析：（I）由頻率分布直方圖可得居民月收入在[3000，4000）包括了兩組，由分布圖的意義，計算出2個小矩形面積之和即可；
（Ⅱ）先算出收入在[3500，4000）的這段的人數(shù)，再由分層抽樣的規(guī)則計算出本段中應抽取的人數(shù)即可；
（Ⅲ）記“5人中任選兩人，甲、乙至少有一個選中”為事件A，設在（II）中的5人為甲、乙、丙、丁、戊，用列舉法可得從5人中任選派兩人包含的情況數(shù)目和事件A包含的事件數(shù)目，由古典概型公式，計算可得答案．

解答：解：解：（I）根據(jù)題意，月收入在[3000，4000）的為第五、六組，
則其頻率0.0003×（3500-3000）+0.0001×（4000-3500）=0.2，
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得，月收入在[3500，4000）即第六組的頻率為0.0001×（4000-3500）=0.05，
總人數(shù)為10000，則改組的頻數(shù)為10000×0.05=500，
而從10000人中用分層抽樣抽出100人，抽取的比例為0.01，
故應該在[3500，4000）中抽取的人數(shù)為500×0.01=5；
（III）記“5人中任選兩人，甲、乙至少有一個選中”為事件A，設在（II）中的5人為甲、乙、丙、丁、戊，
則從5人中任選派兩人包含（甲，乙）（甲，丙），（甲，�。�，（甲，戊），（乙，丙），（乙，�。�，（乙，戊），（丙，�。�，（丙，戊），（丁，戊）共10個基本事件，
則事件A包含7個基本事件，
∴P(A)=

7

10

．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及等可能事件的概率計算，解題的關鍵是認真分析頻率分布直方圖，從中得到相應的信息．