Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈R⁺）同時滿足：①對一切正數(shù)x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1＜x＜3），則當x∈[1，3ⁿ]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）在[3^n-1，3ⁿ]上的面積，利用等比數(shù)列的前n項和公式進行即計算即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1＜x＜3），
∴函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象如圖：
∴f（2）=1，f（6）=3f（2）=3，f（18）=3f（6）=9f（2）=9，…
當x∈[1，3]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₁=

1

2

•2•（3-1）•1=1
當x∈[3¹，3²]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₂=

1

2

•2•（3²-3¹）•3¹=9
當x∈[3²，3³]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₃=

1

2

•（3³-3²）•3²=81
…
當x∈[3^n-1，3ⁿ]時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S_n-1=

1

2

•（3ⁿ-3^n-1）•3^n-1=3^2n-2
此時函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1+9+81+…+3^2n-2=

1-9n

1-9

=

9n-1

8

．
∴y=f（x）的圖象與X軸圍成的圖形面積為

9n-1

8

，
故答案為：

9n-1

8

．

點評：本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)之間的關(guān)系求出相應(yīng)區(qū)間上的三角形的面積是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．