Question

下列函數①f(x)=

1

x

；②f（x）=sin²x；③f（x）=2^-|x|；④f（x）=tanx中，滿足“存在與x無關的正常數M，使得|f（x）|≤M對定義域內的一切實數x都成立”的有（　　）

A．①②

B．③④

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：f(x)=

1

x

的值域為（-∞，0）∪（0，+∞），①顯然不滿足；同樣f（x）=tanx的值域為R，也不行；④由正弦函數的有界性，可判斷②，由指數函數的性質可判斷③，從而可得答案．

解答：解：∵f(x)=

1

x

的值域為（-∞，0）∪（0，+∞），故①不滿足；
f（x）=sin²x≤1，不妨取M=2，則|f（x）|≤2對定義域內的一切實數x都成立，故②滿足；
f（x）=2^-|x|；=(

1

2

)|x|≤1，顯然③滿足題意；
而f（x）=tanx的值域為（-∞，+∞），故④不滿足．
故選C．

點評：本題考查三角函數的最值，指數函數與冪函數的性質，關鍵是對條件的理解與各個函數性質的掌握與應用，屬于中檔題．