精英家教網(wǎng)如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點(diǎn)D1．設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D1位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．
（Ⅰ） 設(shè)二面角E-AC-D1的大小為θ，若
π
4
≤θ≤
π
3
，求線(xiàn)段BE長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）在線(xiàn)段D1E上存在點(diǎn)P，使平面PA1C1∥平面EAC，求
D1P
PE
與BE之間滿(mǎn)足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0＜BE＜a時(shí)，恒有
D1P
PE
＜1．
分析：（I）設(shè)菱形ABCD的中心為O，以O(shè)為原點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)AC，BD所在直線(xiàn)分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系BE=t，分別求出平面D1AC的法向量與平面EAC的法向量，代入向量夾角公式，并根據(jù)
π
4
≤θ≤
π
3
，構(gòu)造關(guān)于t的不等式，即可求出線(xiàn)段BE長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)
D1P
=λ
PE
，分別求出平面PA1C1和平面EAC的法向量，并根據(jù)平面PA1C1∥平面EAC得到λ，a，t的關(guān)系式，結(jié)合0＜BE＜a，即可得到結(jié)論．
解答：解：設(shè)菱形ABCD的中心為O，以O(shè)為原點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)AC，BD所在直線(xiàn)分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
設(shè)BE=t（t＞0）．
（Ⅰ）A(
3
2
a，0，0)，C(-
3
2
a，0，0)，D1(0，-
a
2
，a)，E(0，
a
2
，t)．
AD1
=(-
3
2
a，-
a
2
，a)，
AC
=(-
3
a，0，0)，
設(shè)平面D1AC的法向量為
n1
=(x1，y1，1)，則
n1
•
AD1
=0
n1
•
AC
=0
?
-
3
2
ax1-
a
2
y1+a=0
-
3
ax1=0
?
x1=0
y1=2

∴
n1
=(0，2，1)．（3分）
AE
=(-
3
2
a，
a
2
，t)，
設(shè)平面EAC的法向量為
n2
=(x2，y2，-1)，
則
n2
•
AE
=0
n2
•
AC
=0
?
-
3
2
ax2+
a
2
y2-t=0
-
3
ax2=0
?
x2=0
y2=
2t
a
∴
n2
=(0，
2t
a
，-1)．（4分）
設(shè)二面角E-AC-D1的大小為θ，則cosθ=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
4t-a
20t2+5a2
，（6分）
∵cosθ∈[
1
2
，
2
2
]，∴
1
2
≤|
4t-a
20t2+5a2
|≤
2
2
，
解得
8+5
3
22
a≤t≤
3a
2
．所以BE的取值范圍是[
8+5
3
22
a，
3a
2
]．（8分）
（Ⅱ）設(shè)
D1P
=λ
PE
，則P(0，
a
2
•
λ-1
λ+1
，
λt+a
1+λ
)．∵A1(
3
2
a，0，a)，∴
A1P
=(-
3
2
a，
a
2
•
λ-1
λ+1
，
λt-aλ
1+λ
)．
由平面PA1C1∥平面EAC，得A1P∥平面EAC，∴
A1P
•
n2
=0．∴t•
λ-1
λ+1
-
λt-aλ
1+λ
=0，化簡(jiǎn)得：λ=
t
a
（t≠a），即所求關(guān)系式：
D1P
PE
=
BE
a
（BE≠a）．
∴當(dāng)0＜t＜a時(shí)，
D1P
PE
＜1．即：當(dāng)0＜BE＜a時(shí)，恒有
D1P
PE
＜1．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面平行的性質(zhì)，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問(wèn)題，向量語(yǔ)言表述面面的平行關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間二面角問(wèn)題及面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A1和CDD'C1都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D''與D'重合于點(diǎn)D1．設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D1位于平面ABCD同側(cè)，設(shè)BE=t（t＞0）（圖2）．
（1）設(shè)二面角E-AC-D1的大小為q，若
π
4
≤θ≤
π
3
，求t的取值范圍；
（2）在線(xiàn)段D1E上是否存在點(diǎn)P，使平面PA1C1∥平面EAC，若存在，求出P分
D1E
所成的比λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年浙江省杭州市高三第二次教學(xué)質(zhì)量考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

(本題滿(mǎn)分14分)

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是的菱形，ADD``A1和CD D`C1都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D``與D`重合于點(diǎn)D1 .設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D1位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．

  

(Ⅰ) 設(shè)二面角E – AC – D1的大小為q，若£ q £ ，求線(xiàn)段BE長(zhǎng)的取值范圍；

(Ⅱ)在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使平面平面，求與BE之間滿(mǎn)足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0 < BE < a時(shí)，恒有< 1．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知在銳角ΔABC中，角所對(duì)的邊分別為，且

(I )求角大��；

(II)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

20．如圖1，在平面內(nèi)，是的矩形，是正三角形，將沿折起，使如圖2，為的中點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且垂直于矩形所在平面，點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)位于平面的同側(cè)。

（1）求證：平面；

（2）設(shè)二面角的平面角為，若，求線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍。

 


21.已知A，B是橢圓的左，右頂點(diǎn)，，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)M，N，交直線(xiàn)于點(diǎn)P，且直線(xiàn)PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列,R和Q是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，R和Q的橫坐標(biāo)之和為2，RQ的中垂線(xiàn)交X軸于T點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程；

（2）求三角形MNT的面積的最大值

22. 已知函數(shù) ，

（Ⅰ）若在上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為，試求和的值。

（Ⅱ）若為奇函數(shù)：

（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得在為增函數(shù)，為減函數(shù)，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如果當(dāng)時(shí)，都有恒成立，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點(diǎn)D1．設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D1位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．
（Ⅰ） 設(shè)二面角E-AC-D1的大小為θ，若≤θ≤，求線(xiàn)段BE長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）在線(xiàn)段D1E上存在點(diǎn)P，使平面PA1C1∥平面EAC，求與BE之間滿(mǎn)足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0＜BE＜a時(shí)，恒有＜1．

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