Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+na_n=n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=

2n-1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可得a₁+2a₂+3a₃++（n-1）a_n-1=n-1，兩者相減，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n①，
∴n≥2時(shí)，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n-1②
∴①-②可得na_n=1，∴a_n=

1

n

（n≥2）
又a₁=1也滿(mǎn)足上式，∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=

1

n

；
（2）b_n=

2n-1

an

=n•2^n-1，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
則2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相減得S_n=n•2ⁿ-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法是關(guān)鍵．