精英家教網(wǎng)如圖,P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O且PO=1,
(Ⅰ)證明PA⊥BF;
(Ⅱ)求面APB與面DPB所成二面角的大小.
分析:(1)立體幾何中證明直線與直線垂直,通?捎萌咕定理:因為P在平面ABC內(nèi)的射影為O,所以PO⊥平面ABF,所以AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影;又因為O為BF中點(diǎn),所以AO⊥BF,則PA⊥BF.
(2)解法一:
二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角,常用的方法就是三垂線定理.由PO⊥平面ABF可得:AD⊥平面PBF,過O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H,連AH、DH,則AH⊥PB,DH⊥PB,所以∠AHD為所求二面角平面角.
解法二:
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,P(0,0,1),A(0,-
1
2
,0),B(
3
2
,0,0),D(0,2,0),這種解法的好處就是:(1)解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理,因為這些可以用向量方法來解決.(2)即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出,因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可.
設(shè)平面PAB的法向量為
n1
=(x1y1,1)
,則
n1
PA
,
n1
PB
,設(shè)平面PDB的法向量為
n2
=(x2,y2,1)
,則
n2
PD
,
n2
PB
,所以所求二面角的大小即為這兩個法向量的夾角的大。
解答:解:(Ⅰ)在正六邊形ABCDEF中,△ABF為等腰三角形,
∵P在平面ABC內(nèi)的射影為O,
∴PO⊥平面ABF,
∴AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影;
∵O為BF中點(diǎn),∴AO⊥BF,
∴PA⊥BF.
(Ⅱ)解法一:
∵PO⊥平面ABF,
∴平面PBF⊥平面ABC;而O為BF中點(diǎn),ABCDEF是正六邊形,
∴A、O、D共線,且直線AD⊥BF,則AD⊥平面PBF;
又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1,
AO=
1
2
,DO=
3
2
BO=
3
2

過O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H,連AH、DH,則AH⊥PB,DH⊥PB,
所以∠AHD為所求二面角平面角.
在△AHO中,OH=
21
7
,tan∠AHO=
AO
OH
=
1
2
21
7
=
7
2
21

在△DHO中,tan∠DHO=
DO
OH
=
3
2
21
7
=
21
2
;
tan∠AHD=tan(∠AHO+∠DHO)=
7
2
21
+
21
2
1-
7
2
21
×
21
2
=-
4×28
3
21
=
16
21
9

(Ⅱ)解法二:
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,P(0,0,1),A(0,-
1
2
,0),B(
3
2
,0,0),D(0,2,0),
PA
=(0,-
1
2
,-1)
,
PB
=(
3
2
,0,-1)
,
PD
=(0,2,-1)

設(shè)平面PAB的法向量為
n1
=(x1y1,1)
,則
n1
PA
n1
PB

-
1
2
y1-1=0
3
2
x1-1=0
,
n1
=(
2
3
3
,-2,1)

設(shè)平面PDB的法向量為
n2
=(x2,y2,1)
,則
n2
PD
n2
PB
,
2y2-1=0
3
2
x2-1=0
n2
=(
2
3
3
,
1
2
,1)

cos<
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
8
589
589
點(diǎn)評:本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,二面角和線面關(guān)系等基本知識,同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(06年安徽卷)(12分)

如圖,P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),,P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。

(Ⅰ)證明;

(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),PA=1,P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O.

(1)證明PABF;

(2)求面APB與面DPB所成二面角的大小.

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(Ⅰ)證明;

(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。

 

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