Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2x-{x}^{2}，}}&{0≤x≤1}\\{-{x}^{2}，}&{-1≤x≤0}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）圖象與直線y=x圍成的封閉圖形的面積是$\frac{π}{4}+\frac{17}{24}$．

Answer 1

分析 首先畫出函數(shù)圖象，找出函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x圍成的封閉圖形，利用定積分表示出其面積，然后計算即可．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x圍成的封閉圖形如圖陰影部分，
曲線y=-x²與直線y=x的交點為（0，0），（-1，-1），
所以函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x圍成的封閉圖形的面積為S=$\frac{1}{4}$（π-$\frac{1}{2}×1×1$）+${∫}_{-1}^{0}（-{x}^{2}-x）dx$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{8}$+（-$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}）{|}_{-1}^{0}$${|}_{-1}^{0}$=$\frac{π}{4}+\frac{17}{24}$
故答案為：$\frac{π}{4}+\frac{17}{24}$．

點評 本題考查定積分知識的運用，關(guān)鍵是畫出圖形，利用定積分表示封閉圖形的面積．