Question

17．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，E、F為線段B₁D₁的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，給出下列四個(gè)命題：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③點(diǎn)B到平面AEF的距離為定值；
④異面直線AE與BF所成的角為定值．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)．

Answer 1

分析 ①AC⊥BE，可由線面垂直證兩線垂直；
②EF∥平面ABCD，可由線面平行的定義請線面平行；
③三棱錐A-BEF的體積為定值，可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值，根據(jù)等積法可得答案；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，可由兩個(gè)極好位置說明兩異面直線所成的角不是定值

解答 解：①AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命題正確；
②EF∥平面ABCD，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的兩個(gè)底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點(diǎn)，故有EF∥平面ABCD，此命題正確；
③三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面DD₁B₁B距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，
又由△AEF的面積為定值，可得點(diǎn)B到平面AEF的距離為定值，此命題正確；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，由圖知，當(dāng)F與B1重合時(shí)，令上底面頂點(diǎn)為O，則此時(shí)兩異面直線所成的角是∠A₁AO，當(dāng)E與D₁重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與O重合，則兩異面直線所成的角是OBC1，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值．
綜上知①②③正確
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些幾何特征，對其中的點(diǎn)線面和位置關(guān)系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的知識保證．