Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABC=60°，側(cè)面PDC為等邊三角形，且與底面ABCD垂直，M為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥DM；
（Ⅱ）求直線PC與平面DCM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意取CD中點(diǎn)O，則AO⊥CD，PO⊥底面ABCD，分別以O(shè)D、OA、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DM}$=0可得；
（Ⅱ）設(shè)直線PC與平面DCM所成角為θ，由垂直關(guān)系可得法向量$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，代入sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}$＞|計(jì)算可得．

解答 解：（Ⅰ）由題意取CD中點(diǎn)O，則AO⊥CD，PO⊥底面ABCD，
分別以O(shè)D、OA、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得P（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，$\sqrt{3}$，0），D（1，0，0），
C（-1，0，0），B（-2，$\sqrt{3}$，0），M（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\overrightarrow{PA}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DM}$=（-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DM}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=0，∴$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{DM}$，∴PA⊥DM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\overrightarrow{PC}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DM}$=（-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（-2，0，0），
設(shè)直線PC與平面DCM所成角為θ，平面DCM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=-2x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=-2x=0}\end{array}\right.$，解得x=0且y=-z，故可取$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（-1）^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（-1）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線和平面的位置關(guān)系，建系并轉(zhuǎn)化為向量的夾角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．