Question

已知函數(shù)f（x）=（a+）lnx+-x（a＞1）．
（l）試討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a∈[3，+∞）時，曲線y=f（x）上總存在相異兩點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f （x₂ ）），使得曲線y=f（x）在點(diǎn)P，Q處的切線互相平行，求證：x₁+x₂＞．

Answer 1

解：（1）由已知，得x＞0，=-．
由f′（x）=0，得．因?yàn)閍＞1，所以0，且a．
所以在區(qū)間（0，）上，f′（x）＜0；在區(qū)間（，1）上，f′（x）＞0．
故f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，1）上單調(diào)遞增．
證明：（2）由題意可得，當(dāng)a∈[3，+∞）時，f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）．
即=，所以a+=，a∈[3，+∞）．
因?yàn)閤₁，x₂＞0，且x₁≠x₂，所以恒成立，
所以，又x₁+x₂＞0，所以，整理得，
令g（a）=，因?yàn)閍∈[3，+∞），所以a+單調(diào)遞增，g（a）單調(diào)遞減，
所以g（a）在[3，+∞）上的最大值為g（3）=，
所以．
分析：（1）求出f′（x），當(dāng)x∈（0，1）時，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）由題意可得，當(dāng)a∈[3，+∞）時，f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂），由此可得a+=＞，從而，只要求出在[3，+∞）的最大值即可．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題、求最值問題，運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力．