Question

7．已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）=（a+2）x-3在（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值集合（記為集合A）；
（3）在（2）中的A中存在實數(shù)a使y=af（x）的圖象與y=x+b的圖象恒有兩不同的交點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先令x=1，y=0即可求f（0），再令y=0，即可求 f（x）的解析式，
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，g（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，問題得以解決，
（3）根據(jù)△＞0，得到9a²-2a+1+4ab＞0，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出b的范圍．

解答 解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）-f（0）=2，
又f（1）=0，可得f（0）=-2，
y=0，可得f（x）-f（0）=x（x+1），
所以f（x）=x²+x-2，
（2）f（x）=x²+x-2=（a+2）x-3，
∴ax=x²-x+1，
∵x∈（$\frac{1}{2}$，2），
∴a=x+$\frac{1}{x}$-1，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，
當x∈（$\frac{1}{2}$，1]時，g（x）單調(diào)遞減；x∈[1，2]時，g（x）單調(diào)遞增．
又g（$\frac{1}{2}$）=g（2）=$\frac{3}{2}$，g（1）=1，
∴g（x）∈[1，$\frac{3}{2}$），
∴A=[1，$\frac{3}{2}$）；
（3）由a（x²+x-2）=x+b，得ax²+（a-1）x-2a-b=0有兩不等實根．
依題意有△=（a-1）²+4a（2a+b）＞0，
∴9a²-2a+1+4ab＞0，
∴存在a∈[1，$\frac{3}{2}$），使-4b＜9a+$\frac{1}{a}$-2成立，
當a∈[1，$\frac{3}{2}$），9a+$\frac{1}{a}$-2單調(diào)遞增，
且a=$\frac{3}{2}$時，9a+$\frac{1}{a}$-2=$\frac{73}{6}$，
∴-4b＜$\frac{73}{6}$，
∴b＞-$\frac{73}{24}$．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的問題，以及參數(shù)的取值范圍，恒成立的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．