Question

4．已知數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 通過a_n=$\frac{2n}{{3}^{n}}$可知S_n=2（1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{3}^{n}}$）、$\frac{1}{3}$S_n=2[1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$]，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=2（1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴$\frac{1}{3}$S_n=2[1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$]，
兩式相減得：$\frac{2}{3}$S_n=2[$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$]，
∴S_n=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{3}{2}$-（n+$\frac{3}{2}$）•$\frac{1}{{3}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．