Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+3

x-a

（x≠a，a為非零常數(shù)）．
（1）解不等式f（x）＜x；
（2）設(shè)x＞a時(shí)，f（x）的最小值為6，求a的值．

Answer 1

分析：（1）不等式f（x）＜x，轉(zhuǎn)化為分式不等式，然后轉(zhuǎn)化為同解的一元二次不等式，解得即可；
（2）x＞a，就是x-a＞0，把f（x）的分子分組推出（x-a）+

a2+3

x-a

+2a，利用基本不等式求出最小值，最小值為6，再求a的值．

解答：解：（1）由f（x）＜x，得

x2+3

x-a

＜x，即

ax+3

x-a

＜0，等價(jià)于（ax+3）（x-a）＜0，
當(dāng)a＞0時(shí)，化為（x+

3

a

）（x-a）＜0．
∵-

3

a

＜a，∴解集為{x|-

3

a

＜x＜a}．
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式化為（x+

3

a

）（x-a）＞0，
∵-

3

a

＞a，∴解集為{x|x＜a或x＞-

3

a

}．
（2）∵x＞a，∴x-a＞0．
f（x）=

x2+3

x-a

=

x2-a2+a2+3

x-a

=（x+a）+

a2+3

x-a

=（x-a）+

a2+3

x-a

+2a
≥2

x-a

+2a=2

a2+3

+2a．
當(dāng)且僅當(dāng)x=a+

a2+3

時(shí)，取“=”，
故f（x）_min=2

a2+3

+2a，
由已知2

a2+3

+2a=6，解得a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分式不等式的解法，基本不等式求函數(shù)的最值及其幾何意義，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．