Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B，且一個(gè)焦點(diǎn)為C，另一個(gè)焦點(diǎn)D在線段AB上，若|AB|=8，|AC|=6，|BC|=10，直線y=x+m（m為常數(shù)）與橢圓交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁x₂的最小值為-12．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的焦點(diǎn)為C（-c，0），D（c，0），由橢圓的定義可得4a=24，再由直角三角形ADC中，求得CD的長，可得c，進(jìn)而得到橢圓方程，將直線y=x+m代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，即可得到最小值．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為C（-c，0），D（c，0），
由橢圓的定義可得|AB|+|AC|+|BC|=4a=24，
解得a=6，由|AC|+|AD|=2a=12，可得|AD|=6，
則直角三角形ADC中，|CD|=6$\sqrt{2}$，
即有c=3$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{18}$=1，
聯(lián)立直線y=x+m，可得3x²+4mx+2m²-36=0，
由判別式△=16m²-12（2m²-36）＞0，解得-3$\sqrt{6}$＜m＜3$\sqrt{6}$，
且x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-36}{3}$，當(dāng)m=0時(shí)，取得最小值-12．
故答案為：-12．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義和方程的運(yùn)用，考查直線方程和橢圓方程的聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，是解題的關(guān)鍵．