精英家教網(wǎng)如圖，橢圓C1與橢圓C2中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在x軸上，且離心率相同．橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2
2
，且橢圓C1的左準(zhǔn)線(xiàn)l：x=-2被橢圓C2截得的線(xiàn)段ST長(zhǎng)為2
3
，已知點(diǎn)P是橢圓C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓C1與橢圓C2的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A1為橢圓C1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B1為橢圓C1的下頂點(diǎn)，若直線(xiàn)OP剛好平分A1B1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M，N在橢圓C1上，點(diǎn)P，M，N滿(mǎn)足
OP
=
OM
+2
ON
，則直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．
分析：（1）設(shè)橢圓C1方程為
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1(a1＞b1＞0)，橢圓C2方程為
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1(a2＞b2＞0)，由于2a1=2
2
，可得a1=
2
，又其左準(zhǔn)線(xiàn)x=-2=-
a
2
1
c1
，可得c1=1，則b1=
a
2
1
-
c
2
1
．可得橢圓C1的離心率為e1=
2
2
．
由于兩個(gè)橢圓的離心率相同可得：橢圓C2中
a
2
2
=2
b
2
2
，由線(xiàn)段的ST長(zhǎng)為2
3
，得S(-2，
3
)，代入橢圓C2的方程得可得
b
2
2
，即可得到
a
2
2
．
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線(xiàn)段A1B1的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線(xiàn)OP的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），則
x
2
0
+2
y
2
0
=10，
x
2
1
+2
y
2
1
=2，
x
2
2
+2
y
2
2
=2，由
OP
=
OM
+2
ON
可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），利用向量相等可得
x0=x1+2x2
y0=y1+2y2
于是
x
2
0
+2
y
2
0
=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=10，展開(kāi)即可得出x1x2+2y1y2=0，進(jìn)而得到kOM•kON為定值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓C1方程為
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1(a1＞b1＞0)，橢圓C2方程為
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1(a2＞b2＞0)，
則2a1=2
2
，∴a1=
2
，又其左準(zhǔn)線(xiàn)x=-2=-
a
2
1
c1
，
∴c1=1，則b1=1
∴橢圓C1方程為
x2
2
+y2=1，其離心率為e1=
2
2
，
∴橢圓C2中
a
2
2
=2
b
2
2
，
由線(xiàn)段的ST長(zhǎng)為2
3
，得S(-2，
3
)，代入橢圓C2
4
2
b
2
2
+
3
b
2
2
=1，得
b
2
2
=5，
∴
a
2
2
=10，
∴橢圓C2方程為
x2
10
+
y2
5
=1； 
（2）A1(-
2
，0)，B1(0，-1)，
則A1B1中點(diǎn)為(-
2
2
，-
1
2
)，
∴直線(xiàn)OP為y=
2
2
x，
由
x2
10
+
y2
5
=1
y=
2
2
x
，得
x=
5
y=
10
2
或
x=-
5
y=-
10
2
，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
5
，
10
2
)，(-
5
，-
10
2
)； 
（3）設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），
則
x
2
0
+2
y
2
0
=10，
x
2
1
+2
y
2
1
=2，
x
2
2
+2
y
2
2
=2，
由
OP
=
OM
+2
ON
可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），
∴
x0=x1+2x2
y0=y1+2y2

∴
x
2
0
+2
y
2
0
=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=
x
2
1
+4x1x2+4
x
2
2
+2
y
2
1
+8y1y2+8
y
2
2

=(
x
2
1
+2
y
2
1
)+4(
x
2
2
+2
y
2
2
)+6(x1x2+2y1y2)=10+6(x1x2+2y1y2)=10
∴x1x2+2y1y2=0，
∴
y1y2
x1x2
=-
1
2
，即kOM•kON=-
1
2
，
∴直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON的斜率之積為定值，且定值為-
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、向量相等、斜率計(jì)算公式、整體代入等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線(xiàn)l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線(xiàn)EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線(xiàn)MP經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；
②試問(wèn)：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線(xiàn)PM和直線(xiàn)AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•海口二模）定義：若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱(chēng)兩個(gè)橢圓是“相似”的． 如圖，橢圓C1與橢圓C2是相似的兩個(gè)橢圓，并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn)．橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，橢圓C2：
y2
m2
+
x2
n2
=1(m＞n＞0)短軸長(zhǎng)是1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓C1，C2的方程；
（Ⅱ）過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓C2于點(diǎn)M，N，求△F2MN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省珠海一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓，b＜t1＜a．點(diǎn)A1，A2分別為C的左，右頂點(diǎn)，C1與C相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線(xiàn)AA1與直線(xiàn)A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓與C相交A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省珠海一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓，b＜t1＜a．點(diǎn)A1，A2分別為C的左，右頂點(diǎn)，C1與C相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線(xiàn)AA1與直線(xiàn)A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓與C相交A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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