Question

已知定義在同一個(gè)區(qū)間（

3

3

，

6

2

）上的兩個(gè)函數(shù)f（x）=x²-2alnx，g（x）=x³-bx²+x在x=x₀處的切線平行于x軸．
（1）求實(shí)數(shù)a和b的取值范圍；
（2）試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁，x₀，x₂成等比數(shù)列時(shí)，等式f（x₁）+f（x₂）=2g（x₀）成立？若成立，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=2x-

2a

x

令f′（x）=0
∵a＞0∴x=

a

∵

3

3

＜

a

＜

6

2

∴

1

3

＜a＜

3

2

g′（x）=3x²-2bx+1
令g′（x）=0得3a-2b

a

+1=0
∴b=

3a+1

2 a

=

1

2

（3

a

+

1

a

）
∵

3

3

＜t=

a

＜

6

2

∴

1

2

（3t+

1

t

）在（

3

3

，

6

2

）上單調(diào)遞減則b∈（

3

，

11 6

12

）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)x₁，x₂∈（

3

3

，

6

2

）則x₁•x₂=a
由題意得x₁²+x₂²-2alnx₁-2alnx₂=-a

a

+

a

x₁²+x₂²-2x₁•x₂=2alna-a

a

+

a

-2a
令φ（a）=2alna-a

a

+

a

-2a  （

1

3

＜a＜

3

2

）
φ′（a）=2lna+

1

2 a

-

3

2

a

φ‘’（a）=

2

a

-

1

4a a

-

3

4 a

=

8 a -1-3a

4a a

＞0
∴φ′（a）在（

1

3

，

3

2

）上是增函數(shù)
∴φ′（a）＜φ′（

3

2

）=2ln

3

2

-

7 6

12

＜0
∴φ（a）在（

1

3

，

3

2

）上是減函數(shù)
∴φ（a）＜φ（

1

3

）=

2

3

ln

1

3

+

3

3

-

3

9

-

2

3

＜0
∴（x₁-x₂）²＜0
即不存在滿足條件的x₁與x₂．